Je ne suis pas expert sur le sujet, car je n’ai jamais été confronté à cette situation personnellement.
Cela dit, il me semble que c’est le SCEC (Service central d’état civil) qui, au moment de la naturalisation, est chargé de mettre à jour l’acte de naissance pour y faire figurer la mention de naturalisation. Je ne vois pas quel autre organisme administratif pourrait s’en occuper.
Les interlocuteurs les plus à même de répondre précisément à vos questions restent la mairie et la SDANF (Sous-Direction de l’Accès à la Nationalité Française).
Quoi qu’il en soit, le décret de naturalisation mentionnant son nom devrait suffire. Dans le pire des cas, si la mention de naturalisation n’apparaît pas encore sur l’acte de naissance, les demandes de CNI et de passeport seront simplement mises en attente le temps que l’administration compétente régularise la situation.